http://lecturer.eepis-its.edu/~entin/Struktur%20Data%20&%20Algoritma/buku/Data%20Structure%20-%20Bab%201.pdf
BAB I
Pengenalan Struktur Data dan Algoritma
Tujuan :
1. Mahasiswa memahami apakah yang dimaksud dengan struktur data
2. Mahasiswa memahami apakah yang dimaksud dengan algoritma
3. Mengingat kembali array, struktur, pointer dalam bahasa C
1.1 Pengenalan Struktur Data
Struktur data adalah sebuah skema organisasi, seperti struktur dan array, yang
diterapkan pada data sehingga data dapat diinterprestasikan dan sehingga operasioperasi
spesifik dapat dilaksanakan pada data tersebut
1.2 Pengenalan Algoritma
Algoritma adalah barisan langkah-langkah perhitungan dasar yang mengubah
masukan (dari beberapa fungsi matematika) menjadi keluaran.
Contoh :
Perkalian
Input : integer positif a, b
Output : a X b
Algoritma perkalian :
Contoh kasus : a = 365, b = 24
Metode 1 : 365 * 24 = 365 + (365 * 23)
= 730 + (365 * 22)
…..
= 8760 + (365 * 0)
= 8760
2
Metode 2 : 3 6 5
2 4
1 4 6 0
7 3 0
8 7 6 0
Manakah algoritma yang lebih baik ?
1.3 Array
Array adalah organisasi kumpulan data homogen yang ukuran atau jumlah elemen
maksimumnya telah diketahui dari awal. Array umumnya disimpan di memori komputer
secara kontigu (berurutan). Deklarasi dari array adalah sebagai berikut:
int A[5]; artinya variabel A adalah kumpulan data sebanyak 5 bilangan bertipe
integer.
Operasi terhadap elemen di array dilakukan dengan pengaksesan langsung. Nilai
di masing-masing posisi elemen dapat diambil dan nilai dapat disimpan tanpa melewati
posisi-posisi lain.
Terdapat dua tipe operasi, yaitu:
1. Operasi terhadap satu elemen/posisi dari array
2. Operasi terhadap array sebagai keseluruhan
Dua operasi paling dasar terhadap satu elemen/posisi adalah
1. Penyimpanan nilai elemen ke posisi tertentu di array
2. Pengambilan nilai elemen dari posisi tertentu di array
1.3.1 Penyimpanan dan Pengambilan Nilai
Biasanya bahasa pemrograman menyediakan sintaks tertentu untuk penyimpanan
dan pengambilan nilai elemen pada posisi tertentu di array.
Contoh:
A[10] = 78, berarti penyimpanan nilai 78 ke posisi ke-10 dari array A
C = A[10], berarti pengambilan nilai elemen posisi ke-10 dari array A
1.3.2 Keunggulan dan Kelemahan Array
Keunggulan array adalah sebagai berikut:
1. Array sangat cocok untuk pengaksesan acak. Sembarang elemen di array dapat diacu
secara langsung tanpa melalui elemen-elemen lain.
2. Jika berada di suatu lokasi elemen, maka sangat mudah menelusuri ke elemenelemen
tetangga, baik elemen pendahulu atau elemen penerus
3
3. Jika elemen-elemen array adalah nilai-nilai independen dan seluruhnya harus terjaga,
maka penggunaan penyimpanannya sangat efisien
Kelemahan array adalah sebagai berikut:
Array mempunyai fleksibilitas rendah, karena array mempunyai batasan sebagai berikut:
1. Array harus bertipe homogen. Kita tidak dapat mempunyai array dimana satu elemen
adalah karakter, elemen lain bilangan, dan elemen lain adalah tipe-tipe lain
2. Kebanyakan bahasa pemrograman mengimplementasikan array statik yang sulit
diubah ukurannya di waktu eksekusi. Bila penambahan dan pengurangan terjadi
terus-menerus, maka representasi statis
• Tidak efisien dalam penggunaan memori
• Menyiakan banyak waktu komputasi
• Pada suatu aplikasi, representasi statis tidak dimungkinkan
1.4 Pointer
Misalnya kita ingin membuat beberapa penunjuk ke blok penyimpan yang berisi
integer. Deklarasi pada C adalah:
int *IntegerPointer;
Tanda asterik (*) yang berada sebelum nama variable IntegerPointer menandakan
‘pointer pada suatu int’. Jadi deklarasi diatas berarti ‘definisikan sebuah tipe yang terdiri
dari pointer bertipe integer yang bernama IntegerPointer’.
Apabila didepannya ditambahkan typedef sebagai berikut
Typedef int *IntegerPointer;
Berarti IntegerPointer merupakan suatu tipe pointer berbentuk integer.
Apabila akan mendeklarasikan dua variable A dan B sebagai penunjuk ke bilangan
integer :
IntegerPointer A, B;
Berarti kompiler C akan berisi nilai dari variable A dan B yang ‘menunjuk ke integer’.
Untuk membuat beberapa penunjuk ke beberapa penyimpan integer yang kosong dan
untuk membuat A dan B menunjuk tempat tersebut, digunakan prosedur dinamis untuk
alokasi penyimpan yang disebut malloc
A = (IntegerPointer *) malloc (sizeof(int));
A :
4
B = (int *) malloc (sizeof(int));
A:
B:
Misalnya kita akan menyimpan integer 5 pada blok penyimpan yang ditunjuk
pointer pada variable A. Untuk menuimpan angka 5 pada blok penyimpan integer itu
melalui pointer A, digunakan pernyataan :
*A = 5;
A:
B:
Linked list adalah salah satu struktur data yang paling fundamental. Linked list
terdiri dari sejumlah kelompok elemen (linked) dengan urutan tertentu. Linked list sangat
berguna untuk memelihara sekelompok data, semacam array, tetapi linked list lebih
menguntungkan dalam beberapa kasus. Linked list lebih efisien dalam proses
penyisipan (insertion) dan penghapusan (deletion). Linked list juga menggunakan
pengalokasian penyimpan secara dinamis, dimana penyimpan dialokasikan pada saat
waktu berjalan (runtime).
1.5 Struktur
Struktur adalah koleksi dari variabel yang dinyatakan dengan sebuah nama,
dengan sifat setiap variabel dapat memiliki tipe yang berlainan. Struktur biasa dipakai
untuk mengelompokkan beberapa informasi yang berkaitan menjadi sebuah satu
kesatuan.
Contoh sebuah struktur adalah informasi data tanggal, yang berisi: tanggal, bulan
dan tahun.
1.5.1 Mendeklarasikan Struktur
Contoh pendefinisian tipe struktur adalah sebagai berikut:
struct data_tanggal
{
int tanggal;
5
5
int bulan;
int tahun;
};
yang mendefinisikan tipe struktur bernama data_tanggal, yang terdiri dari tiga buah
elemen (field) berupa : tanggal, bulan dan tahun.
Pendefnisian dan pendeklarasian struktur dapat juga ditulis sebagai berikut:
struct data_tanggal
{
int tanggal;
int bulan;
int tahun;
} tgl_lahir;
Bentuk umum dalam mendefinisikan dan mendeklarasikan struktur adalah sebagai
berikut
struct nama_tipe_struktur
{
tipe field1;
tipe field2;
.
.
tipe fieldn;
}variabel_struktur1, ... , variabel_strukturM;
Masing-masing tipe dari elemen struktur dapat berlainan. Adapun variabel_struktur1
sampai dengan variabel_strukturM menyatakan bahwa variabel struktur yang
dideklarasikan bisa lebih dari satu. Jika ada lebih dari satu variabel, antara variabel
struktur dipisahkan dengan tanda koma.
1.5.2 Mengakses Elemen Struktur
Elemen dari struktur dapat diakses dengan menggunakan bentuk
variabel_struktur.nama_field
Antara variabel_struktur dan nama_field dipisahkan dengan operator titik (disebut
operator anggota struktur). Contoh berikut merupakan instruksi untuk mengisikan data
pada field tanggal
tgl_lahir.tanggal = 30;
6
1.6 Kesimpulan
1. Struktur data adalah sebuah skema organisasi yang diterapkan pada data
sehingga data dapat diinterprestasikan dan sehingga operasi-operasi spesifik
dapat dilaksanakan pada data tersebut
2. Apabila kita membuat program dengan data yang sudah kita ketahui batasnya,
maka kita bisa menggunakan array (tipe data statis), namun apabila data kita
belum kita ketahui batasnya, kita bisa menggunakan pointer (tipe data dinamis)
3. Untuk sekumpulan data dengan tipe data yang berlainan, namun merupakan
satu-kesatuan, kita dapat menggunakan struktur untuk merepresentasikannya
1.7 Latihan
1. Masalah aritmatika polinom adalah membuat sekumpulan subrutin manipulasi
terhadap polinom simbolis (symbolic Polynomial). Terdapat empat operasi
aritmatika polinom dasar antara lain:
a. Penambahan
b. Pengurangan
c. Perkalian
d. Turunan
Representasikan bilangan polinom dengan array dan buatlah prosedur-prosedur
yang melakukan kelima operasi aritmatika di atas.
2. Representasikan soal di atas dengan menggunakan pointer
3. Bilangan kompleks berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan nyata
dan i2 = -1. Terdapat empat operasi aritmatika dasar untuk bilangan kompleks,
yaitu:
• Penambahan : (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
• Pengurangan : (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
• Perkalian : (a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
• Pembagian : (a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (a2+b2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i
Tulis program yang membaca dua bilangan kompleks dan simbol operasi yang
perlu dilakukan, kemudian lakukan operasi yang diminta.
Gunakan struktur untuk merepresentasikan bilangan kompleks dan gunakan
prosedur untuk implementasi tiap operasi.
Minggu, 30 Mei 2010
Algoritma Binary Search
http://blog.uad.ac.id/afandi/2008/11/06/binary-search/
Algoritma Binary Search
Jika kita mempunyai sebuah file dari record-record yang telah dijalankan,
kita dapat melanjutkan menghapuskan memory pemeriksaan yang diperlukan
untuk mendapatkan kembali sebuah record yang telah dipakai oleh suatu teknik
binary search.
Suatu binary search dibandingkan dengan kunci dari pencarian record dengan
record tengah dari sebuah file. Kemudian masing-masing pencarian record
yang telah ditempatkan atau setengah dari file yang telah dihilangkan dengan
pertimbangan yang lebih lanjut. Dalam kasus yang sebelumnya, proses pemban-
dingan dari record tengah dilanjutkan dalam record-record selanjutnya.
Jika kita harus menghilangkan bagian atas dari sebuah file termasuk
record yang telah dibandingkan berlawanan. Selanjutnya jika kita harus
menghilangkan bagian bawah dari sebuah file termasuk record yang telah
dibandingkan berlawanan. Dalam pengulangan proses dari pembandingan
berlawanan dari record tengah, kita akhirnya akan menempatkan record yang
kita inginkan atau menentukan bahwa itu tidak ada dalam file ketika tidak
ada record-record selanjutnya.
Algorithm 2.1
Binary Search.
Terendah = 1.
Tertinggi = n.
While terendah < tertinggi do.
Tengah = (terendah + tertinggi) / 2.
if nilai kunci = nilai (tengah). Then data ditemukan.
Else if nilai kunci > nilai (tengah). Then terendah = tengah + 1.
Else tertinggi = tengah - 1.
end
end
end
Mari kita amati sebuah contoh dari suatu binary search yang telah disajikan terhadap suatu file dari record-record yang telah disusun secara urut. Dalam contoh ini, kita mencari record-record dengan kunci 39, dimana berindikasikan record yang terbaru yang telah dibandingkan berlawanan dari tanda kurung besar membatasi record yang masih dibawah pertimbangan.
Contoh 1
Di bawah ini adalah kunci–kunci carilah kunci 39 dengan mengunakan algorithm Binary Search.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
1 2 3 4 5 6 7 8 9
File ini dinamakan File Sequential (secara berurutan).
Cara penyelesaian.
Bila di cari kunci 39 maka ;
Bila terendah = 1, dan tertinggi = 9,
maka 1 + 9 = 10 , lalu 10 / 2 = 5.
1. Nomor urut 5, adalah kunci 28 , tapi 28 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 5 , dan tertinggi = 9,
maka : 5 + 9 = 14
14 / 2 = 7.
2. Nomor urut 7 adalah 38 , tapi 38 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 8, dan tertinggi = 9, (karena mid + 1 jadi 7+1=8)
maka : 8 + 9 = 17
17 / 2 = 8,5 => 8,5 ≈ 8
Note: kl mengambil kebawah, haruskonsisten untuk jawaban selanjutnya jika ada kasus yg sama juga harus kebawah
3. Nomor urut 8 adalah kunci 39 , dimana kunci 39 = 39.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53]
Contoh 2
Ada 2000 kunci Mahasiswa AKAKOM dengana mengunakan Algoritma Binary Search. Carilah kunci 1345
Cara penyelesaian.
1. pergi ke tengah yaitu ; record dengan kunci 1000.
2. pergi ke record tengah pada separuh bagian ke-dua yaitu ; record sementara (1001+2000)/2 ketemu 1500, maka Record yang di cari ada diantara 1001- 1500.
3. pergi ke bagian tengah antara (1001+1499)/2, yaitu ; record 1250. Record yang dicari 1345 > 1250 berarti ada di antara 1250 - 1499.
4. pergi ke bagian tengah antara (1251+1499)/2 , yaitu ; 1375. Record yang di cari 1345 < 1375 , berarti ada di antara 1251 – 1274.
5. pergi ke bagian tengah antara (1251+1374)/2 atau 1312,5. Record yang di cari 1345 > 1312 , berarti ada di antara 1313 – 1374.
6. pergi ke-bagian tengah antara (1313+1374)/2 atau 1343,5. Record yang di cari 1345 > 1343, berarti ada di antara 1344 –1374.
7. pergi ke-bagian tengah antara (1344+1374)/2 atau 1359. Record yang di cari 1345 < 1359, berarti ada di antara 1334 – 1358.
8. pergi ke-bagian tengah antara (1344+1358)/2 atau 1351. Record yang di cari 1345 < 1351, berarti ada di antara 1344 – 1350.
9. pergi ke-bagian tengah antara (1344+1350)/2, atau 1347. Record yang di cari 1345 < 1347, berarti ada di antara 1344 – 1346.
10. pergi ke bagian tengah antara (1344+1346)/2, atau 1345. Record yang di cari1345 = 1345, ketemu.
Contoh 3
Dari data berikut gunakanlah metode binary search
Cari nomer kunci dari 232 , sedangkan jumlah seluruh mahasiswa sebanyak 700 orang.
Pembahasaan :
(1 + 700)/2 = 350
angka 350 lebih besar dari 232, maka kita harus mencarinya kembali.
(1+ 349)/2 = 175
angka 175 lebih kecil dari 232, maka kita akan mencari kembali
(176 + 349)/2 = 262
angka 362 lebih besar dari 232, maka kita akan melakukan pencarian lagi.
(176 + 261)/2 = 218
angka 218 lebih kecil dari 232 maka dicari lagi
(219 + 261)/2 = 240
angka 240 lebih besar dari 232, maka akan dicari lagi
(219 + 239)/2 = 229
angka 229 lebih kecil dari 232, maka akan dicari lagi
(230 + 239)/2 = 234
angka 234 lebih besar dari 232, maka akan dicari lagi
(230 + 233)/2 = 231
angka 231 lebih kecil dari 232, maka
(232 + 233)/2 = 232
sudah ditemukan
contoh 4
Di bawah ini adalah kunci–kunci carilah kunci 17 dan 39 dengan mengunakan algorithm Binary Search.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
Jawab :
File ini dinamakan File Sequential (secara berurutan).
Cara penyelesaian.
Bila di cari kunci 39 maka
Bila terendah = 1, dan tertinggi = 9,
maka 1 + 9 = 10 , lalu 10 / 2 = 5
1· Nomor urut 5, adalah kunci 28 , tapi 28 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 6, dan tertinggi = 9
maka 6 + 9 = 15 lalu 15 / 2 = 7
2· Nomor urut 7 adalah 38 , tapi 38 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 8, dan tertinggi = 9,
maka 8 + 9 = 17, lalu 17 / 2 = 8.
3· Nomor urut 8 adalah kunci 39 , dimana kunci 39 = 39.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53]
Contoh 5
Dari daftar kunci berikut
2,5,11,12,14,19,30,32,41,42,47,49,51,52
Dicari suatu kunci 12 dan 42, tentukan pencarian tersebut dengan metode binary search
Cara penyelesaian.
Jika kita hendak mencari suatu kunci dari daftar berikut maka terlebih dahulu kita harus mengetahui daftar tertinggi dan daftar terendah jadi langkah pertama yang harus di ambil, yaitu :
1· mencari kunci dari angka 12 maka :
nilai terendah = 1 dan nilai tertinggi = 14
maka 1 + 14 = 15, lalu 15/2 = 7,5
2· karena nomer urut 7 adalah 30, maka 30 > 12
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka didapat nilai terendah = 1, dan nilai tertinggi adalah = 7
sehingga didapat : 1 + 6 = 7, lalu 7 / 2 = 3.
3· karena nomer urut dari nomer 3 adalah 11, maka 11 < 12
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka didapat nilai terendah = 4, dan nilai tertinggi adalah = 6
sehingga didapat : 4 + 6 = 10, lalu 10 / 2 = 5.
4· karena nomer urut dari nomer 5 adalah 14, maka 14 > 12
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka didapat nilai terendah = 4, dan nilai tertinggi adalah = 4
sehingga didapat : 4 + 4 = 8, lalu 8 / 2 = 4.
nomer 4 adalah kunci dari nomer 12, dimana kunci 12 = 12. ketemu
Untuk mencari kunci nomer 42 dengan methode Binary Search, maka :
1. dari daftar dibawah ini dapat kita lihat bahwa :
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
didapat nilai terendah = 1, dan nilai tertinggi = 14
hingga di dapat : 1 + 14 = 15, lalu 15 / 2 = 7,5
2. karena nomer urut 7 adalah 30, dan 30 < 42
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka di dapat nilai terendah = 8, dan nilai tertinggi = 14
jadi 8 + 14 =22, lalu 22/2 =11
3. karena nomer urut 11 adalah 47, dan 47 > 42
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka di dapat nilai terendah = 8, dan nilai tertinggi = 10
jadi 8 + 10 =18, lalu 18/2 =9
4. karena nomer urut 9 adalah 41, dan 41 < 42
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka di dapat nilai terendah = 10, dan nilai tertinggi = 10
jadi 10 + 10 =20, lalu 20/2 =10
nomer 10 adalah kunci dari nomer 42, dimana kunci 42 = 42, ketemu
Algoritma Binary Search
Jika kita mempunyai sebuah file dari record-record yang telah dijalankan,
kita dapat melanjutkan menghapuskan memory pemeriksaan yang diperlukan
untuk mendapatkan kembali sebuah record yang telah dipakai oleh suatu teknik
binary search.
Suatu binary search dibandingkan dengan kunci dari pencarian record dengan
record tengah dari sebuah file. Kemudian masing-masing pencarian record
yang telah ditempatkan atau setengah dari file yang telah dihilangkan dengan
pertimbangan yang lebih lanjut. Dalam kasus yang sebelumnya, proses pemban-
dingan dari record tengah dilanjutkan dalam record-record selanjutnya.
Jika kita harus menghilangkan bagian atas dari sebuah file termasuk
record yang telah dibandingkan berlawanan. Selanjutnya jika kita harus
menghilangkan bagian bawah dari sebuah file termasuk record yang telah
dibandingkan berlawanan. Dalam pengulangan proses dari pembandingan
berlawanan dari record tengah, kita akhirnya akan menempatkan record yang
kita inginkan atau menentukan bahwa itu tidak ada dalam file ketika tidak
ada record-record selanjutnya.
Algorithm 2.1
Binary Search.
Terendah = 1.
Tertinggi = n.
While terendah < tertinggi do.
Tengah = (terendah + tertinggi) / 2.
if nilai kunci = nilai (tengah). Then data ditemukan.
Else if nilai kunci > nilai (tengah). Then terendah = tengah + 1.
Else tertinggi = tengah - 1.
end
end
end
Mari kita amati sebuah contoh dari suatu binary search yang telah disajikan terhadap suatu file dari record-record yang telah disusun secara urut. Dalam contoh ini, kita mencari record-record dengan kunci 39, dimana berindikasikan record yang terbaru yang telah dibandingkan berlawanan dari tanda kurung besar membatasi record yang masih dibawah pertimbangan.
Contoh 1
Di bawah ini adalah kunci–kunci carilah kunci 39 dengan mengunakan algorithm Binary Search.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
1 2 3 4 5 6 7 8 9
File ini dinamakan File Sequential (secara berurutan).
Cara penyelesaian.
Bila di cari kunci 39 maka ;
Bila terendah = 1, dan tertinggi = 9,
maka 1 + 9 = 10 , lalu 10 / 2 = 5.
1. Nomor urut 5, adalah kunci 28 , tapi 28 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 5 , dan tertinggi = 9,
maka : 5 + 9 = 14
14 / 2 = 7.
2. Nomor urut 7 adalah 38 , tapi 38 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 8, dan tertinggi = 9, (karena mid + 1 jadi 7+1=8)
maka : 8 + 9 = 17
17 / 2 = 8,5 => 8,5 ≈ 8
Note: kl mengambil kebawah, haruskonsisten untuk jawaban selanjutnya jika ada kasus yg sama juga harus kebawah
3. Nomor urut 8 adalah kunci 39 , dimana kunci 39 = 39.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53]
Contoh 2
Ada 2000 kunci Mahasiswa AKAKOM dengana mengunakan Algoritma Binary Search. Carilah kunci 1345
Cara penyelesaian.
1. pergi ke tengah yaitu ; record dengan kunci 1000.
2. pergi ke record tengah pada separuh bagian ke-dua yaitu ; record sementara (1001+2000)/2 ketemu 1500, maka Record yang di cari ada diantara 1001- 1500.
3. pergi ke bagian tengah antara (1001+1499)/2, yaitu ; record 1250. Record yang dicari 1345 > 1250 berarti ada di antara 1250 - 1499.
4. pergi ke bagian tengah antara (1251+1499)/2 , yaitu ; 1375. Record yang di cari 1345 < 1375 , berarti ada di antara 1251 – 1274.
5. pergi ke bagian tengah antara (1251+1374)/2 atau 1312,5. Record yang di cari 1345 > 1312 , berarti ada di antara 1313 – 1374.
6. pergi ke-bagian tengah antara (1313+1374)/2 atau 1343,5. Record yang di cari 1345 > 1343, berarti ada di antara 1344 –1374.
7. pergi ke-bagian tengah antara (1344+1374)/2 atau 1359. Record yang di cari 1345 < 1359, berarti ada di antara 1334 – 1358.
8. pergi ke-bagian tengah antara (1344+1358)/2 atau 1351. Record yang di cari 1345 < 1351, berarti ada di antara 1344 – 1350.
9. pergi ke-bagian tengah antara (1344+1350)/2, atau 1347. Record yang di cari 1345 < 1347, berarti ada di antara 1344 – 1346.
10. pergi ke bagian tengah antara (1344+1346)/2, atau 1345. Record yang di cari1345 = 1345, ketemu.
Contoh 3
Dari data berikut gunakanlah metode binary search
Cari nomer kunci dari 232 , sedangkan jumlah seluruh mahasiswa sebanyak 700 orang.
Pembahasaan :
(1 + 700)/2 = 350
angka 350 lebih besar dari 232, maka kita harus mencarinya kembali.
(1+ 349)/2 = 175
angka 175 lebih kecil dari 232, maka kita akan mencari kembali
(176 + 349)/2 = 262
angka 362 lebih besar dari 232, maka kita akan melakukan pencarian lagi.
(176 + 261)/2 = 218
angka 218 lebih kecil dari 232 maka dicari lagi
(219 + 261)/2 = 240
angka 240 lebih besar dari 232, maka akan dicari lagi
(219 + 239)/2 = 229
angka 229 lebih kecil dari 232, maka akan dicari lagi
(230 + 239)/2 = 234
angka 234 lebih besar dari 232, maka akan dicari lagi
(230 + 233)/2 = 231
angka 231 lebih kecil dari 232, maka
(232 + 233)/2 = 232
sudah ditemukan
contoh 4
Di bawah ini adalah kunci–kunci carilah kunci 17 dan 39 dengan mengunakan algorithm Binary Search.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
Jawab :
File ini dinamakan File Sequential (secara berurutan).
Cara penyelesaian.
Bila di cari kunci 39 maka
Bila terendah = 1, dan tertinggi = 9,
maka 1 + 9 = 10 , lalu 10 / 2 = 5
1· Nomor urut 5, adalah kunci 28 , tapi 28 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 6, dan tertinggi = 9
maka 6 + 9 = 15 lalu 15 / 2 = 7
2· Nomor urut 7 adalah 38 , tapi 38 < 39,
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53].
maka terendah = 8, dan tertinggi = 9,
maka 8 + 9 = 17, lalu 17 / 2 = 8.
3· Nomor urut 8 adalah kunci 39 , dimana kunci 39 = 39.
[13, 16, 18, 27, 28, 29, 38, 39, 53]
Contoh 5
Dari daftar kunci berikut
2,5,11,12,14,19,30,32,41,42,47,49,51,52
Dicari suatu kunci 12 dan 42, tentukan pencarian tersebut dengan metode binary search
Cara penyelesaian.
Jika kita hendak mencari suatu kunci dari daftar berikut maka terlebih dahulu kita harus mengetahui daftar tertinggi dan daftar terendah jadi langkah pertama yang harus di ambil, yaitu :
1· mencari kunci dari angka 12 maka :
nilai terendah = 1 dan nilai tertinggi = 14
maka 1 + 14 = 15, lalu 15/2 = 7,5
2· karena nomer urut 7 adalah 30, maka 30 > 12
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka didapat nilai terendah = 1, dan nilai tertinggi adalah = 7
sehingga didapat : 1 + 6 = 7, lalu 7 / 2 = 3.
3· karena nomer urut dari nomer 3 adalah 11, maka 11 < 12
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka didapat nilai terendah = 4, dan nilai tertinggi adalah = 6
sehingga didapat : 4 + 6 = 10, lalu 10 / 2 = 5.
4· karena nomer urut dari nomer 5 adalah 14, maka 14 > 12
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka didapat nilai terendah = 4, dan nilai tertinggi adalah = 4
sehingga didapat : 4 + 4 = 8, lalu 8 / 2 = 4.
nomer 4 adalah kunci dari nomer 12, dimana kunci 12 = 12. ketemu
Untuk mencari kunci nomer 42 dengan methode Binary Search, maka :
1. dari daftar dibawah ini dapat kita lihat bahwa :
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
didapat nilai terendah = 1, dan nilai tertinggi = 14
hingga di dapat : 1 + 14 = 15, lalu 15 / 2 = 7,5
2. karena nomer urut 7 adalah 30, dan 30 < 42
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka di dapat nilai terendah = 8, dan nilai tertinggi = 14
jadi 8 + 14 =22, lalu 22/2 =11
3. karena nomer urut 11 adalah 47, dan 47 > 42
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka di dapat nilai terendah = 8, dan nilai tertinggi = 10
jadi 8 + 10 =18, lalu 18/2 =9
4. karena nomer urut 9 adalah 41, dan 41 < 42
[2, 5, 11, 12, 14, 19, 30, 32, 41, 42, 47, 49, 51, 52,]
maka di dapat nilai terendah = 10, dan nilai tertinggi = 10
jadi 10 + 10 =20, lalu 20/2 =10
nomer 10 adalah kunci dari nomer 42, dimana kunci 42 = 42, ketemu
ALGORITMA PENCARIAN BINER
mita.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/.../BINARY-SEARCH.doc - Mirip
ALGORITMA PENCARIAN BINER (BINARY SEARCH)
Pencarian Biner (Binary Search) pada array yang sudah terurut
Pencarian Biner (Binary Search) dilakukan untuk :
♪ memperkecil jumlah operasi pembandingan yang harus dilakukan antara data yang dicari dengan data yang ada di dalam tabel, khususnya untuk jumlah data yang sangat besar ukurannya.
♪ Prinsip dasarnya adalah melakukan proses pembagian ruang pencarian secara berulang-ulang sampai data ditemukan atau sampai ruang pencarian tidak dapat dibagi lagi (berarti ada kemungkinan data tidak ditemukan).
♪ Syarat utama untuk pencarian biner adalah data di dalam tabel harus sudah terurut, misalkan terurut menaik.
ALGORITMA
Kamus
Const N : integer = 8 { misalkan jumlah elemen array maksimum = 8 }
Type A = array [ 1 ..... N ] of integer
Cari, BatasAtas, BatasBawah, Tengah : Integer
Ketemu : boolean
ALGORITMA
Input (cari) { meminta nilai data yang akan dicari}
BatasAtas 1 { indeks array dimulai dari 1 }
BatasBawah N
Ketemu False
While (BatasAtas < BatasBawah) and (not ketemu) do
Tengah (BatasAtas + BatasBawah) div 2
If A [Tengah] = cari then
Ketemu true
Else
If ( A [Tengah] < cari ) then { cari di bagian kanan }
BatasAtas Tengah + 1
Else
BatasBawah Tengah – 1 { cari di bagian kiri }
Endif
Endif
EndWhile
If (ketemu) then
Output ( ‘Data berada di index nomor’, Tengah )
Else Output ( ‘Data tidak ditemukan’ )
Endif
Contoh Nilai-Nilai data yang sudah terurut :
A 2 5 8 12 15 25 37 57
1 2 3 3 5 6 7 8
Kasus 1 : cari = 12
Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4
A [Tengah] = A [4] = 12, berarti loop pertama data langsung ditemukan
Kasus 2 : cari = 15
Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4
A [Tengah] = A [4] = 12 < cari = 15, berarti BatasAtas = Tengah + 1 = 4 + 1 = 5
Loop kedua : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (5 + 8) div 2 = 6
A [Tengah] = A [6] = 25 > cari = 15, berarti BatasBawah = Tengah - 1 = 6 - 1 = 5
Loop ketiga : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (5 + 5) div 2 = 5
A [Tengah] = A [5] = 15, berarti setelah loop ketiga, data ditemukan
Kasus 3 : cari = 10
Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4
A [Tengah] = A [4] = 12 > cari = 10, berarti BatasBawah = Tengah - 1 = 4 - 1 = 3
Loop kedua : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 3) div 2 = 2
A [Tengah] = A [2] = 5 < cari = 10, berarti BatasAtas = Tengah + 1 = 2 + 1 = 3
Loop ketiga : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (3 + 3) div 2 = 3
A [Tengah] = A [3] = 8, berarti setelah loop ketiga, data tidak ditemukan
Untuk jumlah data sebanyak n, maka proses pembandingan maksimal sebanyak ( log n ) kali. Untuk contoh di atas, jumlah data 8, maka proses pembandingan maksimal sebanyak 3 kali.
ALGORITMA PENCARIAN BINER (BINARY SEARCH)
Pencarian Biner (Binary Search) pada array yang sudah terurut
Pencarian Biner (Binary Search) dilakukan untuk :
♪ memperkecil jumlah operasi pembandingan yang harus dilakukan antara data yang dicari dengan data yang ada di dalam tabel, khususnya untuk jumlah data yang sangat besar ukurannya.
♪ Prinsip dasarnya adalah melakukan proses pembagian ruang pencarian secara berulang-ulang sampai data ditemukan atau sampai ruang pencarian tidak dapat dibagi lagi (berarti ada kemungkinan data tidak ditemukan).
♪ Syarat utama untuk pencarian biner adalah data di dalam tabel harus sudah terurut, misalkan terurut menaik.
ALGORITMA
Kamus
Const N : integer = 8 { misalkan jumlah elemen array maksimum = 8 }
Type A = array [ 1 ..... N ] of integer
Cari, BatasAtas, BatasBawah, Tengah : Integer
Ketemu : boolean
ALGORITMA
Input (cari) { meminta nilai data yang akan dicari}
BatasAtas 1 { indeks array dimulai dari 1 }
BatasBawah N
Ketemu False
While (BatasAtas < BatasBawah) and (not ketemu) do
Tengah (BatasAtas + BatasBawah) div 2
If A [Tengah] = cari then
Ketemu true
Else
If ( A [Tengah] < cari ) then { cari di bagian kanan }
BatasAtas Tengah + 1
Else
BatasBawah Tengah – 1 { cari di bagian kiri }
Endif
Endif
EndWhile
If (ketemu) then
Output ( ‘Data berada di index nomor’, Tengah )
Else Output ( ‘Data tidak ditemukan’ )
Endif
Contoh Nilai-Nilai data yang sudah terurut :
A 2 5 8 12 15 25 37 57
1 2 3 3 5 6 7 8
Kasus 1 : cari = 12
Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4
A [Tengah] = A [4] = 12, berarti loop pertama data langsung ditemukan
Kasus 2 : cari = 15
Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4
A [Tengah] = A [4] = 12 < cari = 15, berarti BatasAtas = Tengah + 1 = 4 + 1 = 5
Loop kedua : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (5 + 8) div 2 = 6
A [Tengah] = A [6] = 25 > cari = 15, berarti BatasBawah = Tengah - 1 = 6 - 1 = 5
Loop ketiga : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (5 + 5) div 2 = 5
A [Tengah] = A [5] = 15, berarti setelah loop ketiga, data ditemukan
Kasus 3 : cari = 10
Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4
A [Tengah] = A [4] = 12 > cari = 10, berarti BatasBawah = Tengah - 1 = 4 - 1 = 3
Loop kedua : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 3) div 2 = 2
A [Tengah] = A [2] = 5 < cari = 10, berarti BatasAtas = Tengah + 1 = 2 + 1 = 3
Loop ketiga : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (3 + 3) div 2 = 3
A [Tengah] = A [3] = 8, berarti setelah loop ketiga, data tidak ditemukan
Untuk jumlah data sebanyak n, maka proses pembandingan maksimal sebanyak ( log n ) kali. Untuk contoh di atas, jumlah data 8, maka proses pembandingan maksimal sebanyak 3 kali.
Selasa, 25 Mei 2010
Algoritma Divide dan Conquer
mita.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/14268/Divide%26Conquer.doc
Algoritma Divide dan Conquer
Pemrogram bertanggung jawab atas implementasi solusi. Pembuatan program akan menjadi lebih sederhana jika masalah dapat dipecah menjadi sub masalah - sub masalah yang dapat dikelola.
Penyelesaian masalah dengan komputer berhadapan dengan 4 hal, yaitu :
1. Pemahaman keterhubungan elemen-elemen data yang relevan terhadap solusi secara menyeluruh.
2. Pengambilan keputusan mengenai operasi-operasi yang dilakukan terhadap elemen-elemen data.
3. Perancangan representasi elemen-elemen data di memori sehingga memenuhi kriteria berikut:
a. Memenuhi keterhubungan logik antara elemen-elemen data.
b. Operasi-operasi terhadap elemen-elemen data dapat dilakukan secara mudah dan efisien.
4. Pengambilan keputusan mengenai mengenai bahasa pemrograman terbaik untuk menerjemahkan solusi persoalan menjadi program.
STRATEGI DIVIDE DAN CONQUER
Metode
Strategi Divide dan Conquer memecah masalah menjadi submasalah-submasalah independen yang lebih kecil sehingga solusi submasalah-submasalah dapat diperoleh secara mudah, solusi submasalah-submasalah digabung menjadi solusi seluruh masalah.
Skema umum algoritma divide dan conquer
Procedure DNC ( i,j : integer )
Var K : integer ;
If SMALL (i,j) then SOLVE (i,j)
Else begin
K : = DIVIDE (i,j)
COMBINE (DNC(i,k),DNC(k+1,j))
End if
Keterangan :
1. SMALL adalah fungsi yang mengirim BOOLEAN, menentukan apakah ukuran telah cukup kecil sehingga solusi dapat diperoleh. Ukuran dinyatakan sebagai telah berukuran kecil bergantung masalah.
2. DIVIDE adalah fungsi membagi menjadi 2 bagian pada posisi K. Biasanya bagian berukuran sama.
3. COMBINE adalah fungsi menggabungkan solusi X dan Y submasalah. Solusi diperoleh dengan memanggil prosedur rekursif DNC.
Jika ukuran kedua submasalah sama, waktu komputasi DNC dideskripsikan hubungan rekuren berikut :
T(n) = g (n), n kecil
2 T (n/2) + f (n), selainnya
dimana :
• T(n) adalah waktu untuk DNC dengan n masukan,
• g(n) adalah waktu komputasi jawaban secara langsung untuk masukan kecil dan
• f(n) adalah waktu COMBINE.
Untuk algoritma divide dan conquer yang menghasilkan submasalah-submasalah dengan tipe masalah yang sama dengan masalah awal, sangat alami untuk mendeskripsikan algoritma secara rekursi. Kemudian untuk meningkatkan efisiensi dilakukan penerjemahan menjadi bentuk iterasi.
Pemakaian teknik Divide dan Conquer banyak digunakan dalam menyelesaikan berbagai macam persoalan, antara lain :
1. Searching
2. Sorting
Binary Search (Pencarian Biner) dapat dilakukan jika data sudah dalam keadaan urut. Dengan kata lain, apabila data belum dalam keadaan urut, pencarian biner tidak dapat dilakukan. Dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita juga sering menggunakan pencarian biner. Misalnya saat ingin mencari suatu kata dalam kamus.
Prinsip dari pencarian biner dapat dijelaskan sebagai berikut :
1. Mula-mula diambil posisi awal = 1 dan posisi akhir = N
2. Cari posisi data tengah dengan rumus (posisi awal + posisi akhir) / 2
3. Data yang dicari dibandingkan dengan data tengah.
4. Jika lebih kecil, proses dilakukan kembali tetapi posisi akhir dianggap sama dengan posisi tengah – 1.
5. Jika lebih besar, proses dilakukan kembali tetapi posisi awal dianggap sama dengan posisi tengah + 1.
6. Demikian seterusnya sampai data tengah sama dengan yang dicari.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Misalkan kita ingin mencari 17 pada sekumpulan data berikut :
3
9
11
12
15
17
23
31
35
awal tengah akhir
1. Mula–mula dicari data tengah, dengan rumus (1+ 9) / 2 = 5.
2. Berarti data tengah adalah data ke-5, yaitu 15.
3. Data yang dicari, yaitu 17, dibandingkan dengan data tengah ini.
4. Karena 17 > 15, berarti proses dilanjutkan tetapi kali ini posisi awal dianggap sama dengan posisi tengah + 1 atau 6.
3
9
11
12
15
17
23
31
35
awal tengah akhir
1. Data tengah yang baru didapat dengan rumus (6 + 9) / 2 = 7. Berarti data tengah yang baru adalah data ke-7, yaitu 23.
2. Data yang dicari, yaitu 17 dibandingkan dengan data tengah ini.
3. Karena 17 < 23, berarti proses dilanjutkan tetapi kali ini posisi akhir dianggap sama dengan posisi tengah – 1 atau 6.
3
9
11
12
15
17
23
31
35
awal = akhir
1. Data tengah yang baru didapat dengan rumus (6 + 6) / 2 = 6. Berarti data tengah yang baru adalah data ke-6, yaitu 17.
2. Data yang dicari dibandingkan dengan data tengah ini dan ternyata sama. Jadi data ditemukan pada indeks ke-6.
3. Bagaimana jika data yang dicari tidak ada, misalnya 16?
4. Pencarian biner ini akan berakhir jika data ditemukan atau posisi awal lebih besar dari posisi akhir.
5. Jika posisi awal sudah lebih besar daripada posisi akhir berarti data tidak ditemukan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan proses pencarian 16 pada data di atas. Prosesnya hampir sama dengan pencarian 17. Tetapi setelah posisi awal = posisi akhir = 6, proses masih dilanjutkan lagi dengan posisi awal = 6 dan posisi akhir = 5
3
9
11
12
15
17
23
31
35
akhir awal
Disini dapat dilihat bahwa posisi awal lebih besar daripada posisi akhir, yang artinya data tidak ditemukan.
Secara umum, algoritma pencarian biner dapat dituliskan sebagai berikut :
1. l ← 1.
2. r ← N.
3. ketemu ← false.
4. selama ( l < = r ) dan (not ketemu) kerjakan baris 5 sampai dengan 8.
5. m ← ( l + r ) / 2
6. Jika ( Data [m] = x ) maka ketemu ← true.
7. Jika ( x < Data [m] ) maka r ← m – 1.
8. Jika ( x > Data [m] ) maka l ← m + 1.
9. If (ketemu) maka m adalah indeks dari data yang dicari, jika tidak data tidak ditemukan.
Berikut ini adalah contoh fungsi untuk mencari data menggunakan pencarian biner.
Function BinarySearch (x: word) : integer;
var
l, r, m : word;
ketemu : boolean;
begin
l : = 1;
r : = N;
ketemu : = false;
while (1 <= r ) and ( not ketemu ) do
begin
m : = (1 + r ) div 2;
if (Data [m] = x ) then
Ketemu := true
else if (x < Data [m] ) then
r : = m – 1
else
l : = m + 1;
end;
if ( ketemu ) then
BinarySearch : = m
else
BinarySearch : = -1;
end;
Fungsi di atas akan mengembalikan indeks dari data yang dicari. Apabila data tidak ditemukan, maka yang yang dikembalikan adalah –1.
Jumlah pembandingan minimum pada pencarian biner adalah 1 kali, yaitu bila data yang dicari tepat berada di tengah-tengah. Jumlah pembandingan maksimum yang dilakukan dengan pencarian biner dapat dicari dengan rumus logaritma, yaitu : C = ²log (N)
Metode Quick atau yang sering disebut juga metode partisi diperkenalkan pertama kali oleh C. A. R. Hoare pada tahun 1962. Pada metode quick, jarak dari kedua elemen yang ditukarkan dibuat cukup besar dengan tujuan untuk mempertinggi efektivitasnya. Hal ini mengingat metode gelembung yang menggunakan jarak cukup dekat ternyata kurang efektif.
Proses pengurutan dengan metode quick dapat dijelaskan sebagai berikut : mula-mula dipilih data tertentu yang dinamakan pivot, misalnya x. Pivot ini harus diletakkan pada posisi ke-j sedemikian hingga data antara 1 sampai dengan (j – 1) lebih kecil daripada x; sedangkan data pada posisi ke-(j+1) sampai dengan N lebih besar daripada x. Cara pengaturannya adalah menukarkan data di antara posisi 1 sampai dengan (j – 1) yang lebih besar daripada x dengan data di antara posisi (j + 1) sampai dengan N yang lebih kecil daripada x.
Algoritma penyisipan langsung sendiri dapat dituliskan sebagai berikut:
1. x ← Data [( L + R) / 2)].
2. i ← L
3. j ← R
4. Selama ( i < = j ) kerjakan baris 5 sampai dengan 12.
5. Selama ( Data [ i ] < x ) kerjakan i ← i + 1
6. Selama ( Data [ j ] > x ) kerjakan i ← j - 1
7. Jika (i < = j ) maka kerjakan baris 8 sampai dengan 10; jika tidak kerjakan baris 11.
8. Tukar Data [ i ] dengan Data [ j ].
9. i ← i + 1
10. j ← j - 1
11. Jika ( L < j ) kerjakan lagi baris 1 dengan R = j.
12. Jika ( i < R ) kerjakan lagi baris 1 dengan L = i.
Jika suatu barisan yang terdiri dari n elemen yang ditempatkan dalam suatu array dan urutan yang diinginkan adalah urutan yang tidak turun (non decreasing) maka dapat digunakan metode Quick Sort yang dengan teknik Divide and Conquer.
Adapun algoritma Quick Sort tersebut terdiri dari dua prosedur yaitu prosedur PARTITION dan prosedur QUICKSORT. Berikut ini disajikan algoritma Quick Sort yang dimaksud, yaitu :
PROCEDURE QUICKSORT(p,q)
IF p < q then j q + 1
CALL PARTITION(p,j)
CALL QUICKSORT(p,j-1)
CALL QUICKSORT(j+1,q)
END IF
END QUICKSORT
PROCEDURE PARTITION(m,p)
INTEGER m,p,i ; GLOBAL A(m-1,p)
V A(m) ; i m
LOOP
LOOP i i + 1 UNTIL A( i ) > = V REPEAT
LOOP p p - 1 UNTIL A( p ) < = V REPEAT
IF i < p THEN CALL INTERCHANGE (A(i),A(p))
ELSE EXIT
END IF
REPEAT
A(m) A(p)
A(p) V
END PARTITION
Contoh :
Suatu Array A terdiri dari 9 elemen, yaitu :
A(1) = 65 A(4) = 80 A(7) = 60
A(2) = 70 A(5) = 85 A(8) = 50
A(3) = 75 A(6) = 60 A(9) = 45
Elemen-elemen tersebut akan disusun secara tidak turun berdasarkan algoritma Quick Sort.
Jalannya proses pada algoritma tersebut disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i p
65 70 75 80 85 60 55 50 45 2 9
65 45 75 80 85 60 55 50 70 3 8
65 45 50 80 85 60 55 75 70 4 7
65 45 50 55 85 60 80 75 70 5 6
65 45 50 55 60 85 80 75 70 6 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i p
65 45 50 55 60 85 80 75 70 6 9
65 45 50 55 60 70 80 75 85 7 8
65 45 50 55 60 70 75 80 85 8 7
Dan seterusnya
EXIT
Analisisnya :
Hitung jumlah dari perbandingan-perbandingan elemennya dalam hal ini disimpan dalam variable C(n) dan kita asumsikan bahwa :
• n elemen yang disortir berbeda,
• proses pembagian (partisi) elemen V dalam prosedur PARTITION dilakukan dengan proses seleksi secara acak.
Worst Case dari C(n) dinotasikan dengan Cw(n). C(n) di dalam setiap pemanggilan prosedur PARTITION maksimum sebesar ( p – q + 1 ) kali.
Misalkan r adalah jumlah kumulatif dari elemen-elemen di dalam seluruh pemanggilan prosedur PARTITION pada setiap tingkat dari teknik rekursif tersebut. Pada tingkat pertama terjadi pemanggilan prosedur PARTITION sebanyak satu (1) kali yakni CALL PARTITION ( 1, n + 1 ) dan nilai r = n. Pada tingkat kedua terjadi pemanggilan prosedur PARTITION paling banyak dua (2) kali dan nilai r = n – 1, dan seterusnya dengan cara yang sama pada tingkat berikutnya. Dengan demikian dari proses tersebut diperoleh Cw(n) akan sama dengan jumlah seluruh tingkat (r) dan nilai r berkisar didalam interval [ 2 , n ].
Jadi kompleksitas waktunya (Worst Case) = Cw (n ) = O ( n² ) dan
Average Case = CA(n) = O ( n log n ).
Algoritma Divide dan Conquer
Pemrogram bertanggung jawab atas implementasi solusi. Pembuatan program akan menjadi lebih sederhana jika masalah dapat dipecah menjadi sub masalah - sub masalah yang dapat dikelola.
Penyelesaian masalah dengan komputer berhadapan dengan 4 hal, yaitu :
1. Pemahaman keterhubungan elemen-elemen data yang relevan terhadap solusi secara menyeluruh.
2. Pengambilan keputusan mengenai operasi-operasi yang dilakukan terhadap elemen-elemen data.
3. Perancangan representasi elemen-elemen data di memori sehingga memenuhi kriteria berikut:
a. Memenuhi keterhubungan logik antara elemen-elemen data.
b. Operasi-operasi terhadap elemen-elemen data dapat dilakukan secara mudah dan efisien.
4. Pengambilan keputusan mengenai mengenai bahasa pemrograman terbaik untuk menerjemahkan solusi persoalan menjadi program.
STRATEGI DIVIDE DAN CONQUER
Metode
Strategi Divide dan Conquer memecah masalah menjadi submasalah-submasalah independen yang lebih kecil sehingga solusi submasalah-submasalah dapat diperoleh secara mudah, solusi submasalah-submasalah digabung menjadi solusi seluruh masalah.
Skema umum algoritma divide dan conquer
Procedure DNC ( i,j : integer )
Var K : integer ;
If SMALL (i,j) then SOLVE (i,j)
Else begin
K : = DIVIDE (i,j)
COMBINE (DNC(i,k),DNC(k+1,j))
End if
Keterangan :
1. SMALL adalah fungsi yang mengirim BOOLEAN, menentukan apakah ukuran telah cukup kecil sehingga solusi dapat diperoleh. Ukuran dinyatakan sebagai telah berukuran kecil bergantung masalah.
2. DIVIDE adalah fungsi membagi menjadi 2 bagian pada posisi K. Biasanya bagian berukuran sama.
3. COMBINE adalah fungsi menggabungkan solusi X dan Y submasalah. Solusi diperoleh dengan memanggil prosedur rekursif DNC.
Jika ukuran kedua submasalah sama, waktu komputasi DNC dideskripsikan hubungan rekuren berikut :
T(n) = g (n), n kecil
2 T (n/2) + f (n), selainnya
dimana :
• T(n) adalah waktu untuk DNC dengan n masukan,
• g(n) adalah waktu komputasi jawaban secara langsung untuk masukan kecil dan
• f(n) adalah waktu COMBINE.
Untuk algoritma divide dan conquer yang menghasilkan submasalah-submasalah dengan tipe masalah yang sama dengan masalah awal, sangat alami untuk mendeskripsikan algoritma secara rekursi. Kemudian untuk meningkatkan efisiensi dilakukan penerjemahan menjadi bentuk iterasi.
Pemakaian teknik Divide dan Conquer banyak digunakan dalam menyelesaikan berbagai macam persoalan, antara lain :
1. Searching
2. Sorting
Binary Search (Pencarian Biner) dapat dilakukan jika data sudah dalam keadaan urut. Dengan kata lain, apabila data belum dalam keadaan urut, pencarian biner tidak dapat dilakukan. Dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita juga sering menggunakan pencarian biner. Misalnya saat ingin mencari suatu kata dalam kamus.
Prinsip dari pencarian biner dapat dijelaskan sebagai berikut :
1. Mula-mula diambil posisi awal = 1 dan posisi akhir = N
2. Cari posisi data tengah dengan rumus (posisi awal + posisi akhir) / 2
3. Data yang dicari dibandingkan dengan data tengah.
4. Jika lebih kecil, proses dilakukan kembali tetapi posisi akhir dianggap sama dengan posisi tengah – 1.
5. Jika lebih besar, proses dilakukan kembali tetapi posisi awal dianggap sama dengan posisi tengah + 1.
6. Demikian seterusnya sampai data tengah sama dengan yang dicari.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Misalkan kita ingin mencari 17 pada sekumpulan data berikut :
3
9
11
12
15
17
23
31
35
awal tengah akhir
1. Mula–mula dicari data tengah, dengan rumus (1+ 9) / 2 = 5.
2. Berarti data tengah adalah data ke-5, yaitu 15.
3. Data yang dicari, yaitu 17, dibandingkan dengan data tengah ini.
4. Karena 17 > 15, berarti proses dilanjutkan tetapi kali ini posisi awal dianggap sama dengan posisi tengah + 1 atau 6.
3
9
11
12
15
17
23
31
35
awal tengah akhir
1. Data tengah yang baru didapat dengan rumus (6 + 9) / 2 = 7. Berarti data tengah yang baru adalah data ke-7, yaitu 23.
2. Data yang dicari, yaitu 17 dibandingkan dengan data tengah ini.
3. Karena 17 < 23, berarti proses dilanjutkan tetapi kali ini posisi akhir dianggap sama dengan posisi tengah – 1 atau 6.
3
9
11
12
15
17
23
31
35
awal = akhir
1. Data tengah yang baru didapat dengan rumus (6 + 6) / 2 = 6. Berarti data tengah yang baru adalah data ke-6, yaitu 17.
2. Data yang dicari dibandingkan dengan data tengah ini dan ternyata sama. Jadi data ditemukan pada indeks ke-6.
3. Bagaimana jika data yang dicari tidak ada, misalnya 16?
4. Pencarian biner ini akan berakhir jika data ditemukan atau posisi awal lebih besar dari posisi akhir.
5. Jika posisi awal sudah lebih besar daripada posisi akhir berarti data tidak ditemukan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan proses pencarian 16 pada data di atas. Prosesnya hampir sama dengan pencarian 17. Tetapi setelah posisi awal = posisi akhir = 6, proses masih dilanjutkan lagi dengan posisi awal = 6 dan posisi akhir = 5
3
9
11
12
15
17
23
31
35
akhir awal
Disini dapat dilihat bahwa posisi awal lebih besar daripada posisi akhir, yang artinya data tidak ditemukan.
Secara umum, algoritma pencarian biner dapat dituliskan sebagai berikut :
1. l ← 1.
2. r ← N.
3. ketemu ← false.
4. selama ( l < = r ) dan (not ketemu) kerjakan baris 5 sampai dengan 8.
5. m ← ( l + r ) / 2
6. Jika ( Data [m] = x ) maka ketemu ← true.
7. Jika ( x < Data [m] ) maka r ← m – 1.
8. Jika ( x > Data [m] ) maka l ← m + 1.
9. If (ketemu) maka m adalah indeks dari data yang dicari, jika tidak data tidak ditemukan.
Berikut ini adalah contoh fungsi untuk mencari data menggunakan pencarian biner.
Function BinarySearch (x: word) : integer;
var
l, r, m : word;
ketemu : boolean;
begin
l : = 1;
r : = N;
ketemu : = false;
while (1 <= r ) and ( not ketemu ) do
begin
m : = (1 + r ) div 2;
if (Data [m] = x ) then
Ketemu := true
else if (x < Data [m] ) then
r : = m – 1
else
l : = m + 1;
end;
if ( ketemu ) then
BinarySearch : = m
else
BinarySearch : = -1;
end;
Fungsi di atas akan mengembalikan indeks dari data yang dicari. Apabila data tidak ditemukan, maka yang yang dikembalikan adalah –1.
Jumlah pembandingan minimum pada pencarian biner adalah 1 kali, yaitu bila data yang dicari tepat berada di tengah-tengah. Jumlah pembandingan maksimum yang dilakukan dengan pencarian biner dapat dicari dengan rumus logaritma, yaitu : C = ²log (N)
Metode Quick atau yang sering disebut juga metode partisi diperkenalkan pertama kali oleh C. A. R. Hoare pada tahun 1962. Pada metode quick, jarak dari kedua elemen yang ditukarkan dibuat cukup besar dengan tujuan untuk mempertinggi efektivitasnya. Hal ini mengingat metode gelembung yang menggunakan jarak cukup dekat ternyata kurang efektif.
Proses pengurutan dengan metode quick dapat dijelaskan sebagai berikut : mula-mula dipilih data tertentu yang dinamakan pivot, misalnya x. Pivot ini harus diletakkan pada posisi ke-j sedemikian hingga data antara 1 sampai dengan (j – 1) lebih kecil daripada x; sedangkan data pada posisi ke-(j+1) sampai dengan N lebih besar daripada x. Cara pengaturannya adalah menukarkan data di antara posisi 1 sampai dengan (j – 1) yang lebih besar daripada x dengan data di antara posisi (j + 1) sampai dengan N yang lebih kecil daripada x.
Algoritma penyisipan langsung sendiri dapat dituliskan sebagai berikut:
1. x ← Data [( L + R) / 2)].
2. i ← L
3. j ← R
4. Selama ( i < = j ) kerjakan baris 5 sampai dengan 12.
5. Selama ( Data [ i ] < x ) kerjakan i ← i + 1
6. Selama ( Data [ j ] > x ) kerjakan i ← j - 1
7. Jika (i < = j ) maka kerjakan baris 8 sampai dengan 10; jika tidak kerjakan baris 11.
8. Tukar Data [ i ] dengan Data [ j ].
9. i ← i + 1
10. j ← j - 1
11. Jika ( L < j ) kerjakan lagi baris 1 dengan R = j.
12. Jika ( i < R ) kerjakan lagi baris 1 dengan L = i.
Jika suatu barisan yang terdiri dari n elemen yang ditempatkan dalam suatu array dan urutan yang diinginkan adalah urutan yang tidak turun (non decreasing) maka dapat digunakan metode Quick Sort yang dengan teknik Divide and Conquer.
Adapun algoritma Quick Sort tersebut terdiri dari dua prosedur yaitu prosedur PARTITION dan prosedur QUICKSORT. Berikut ini disajikan algoritma Quick Sort yang dimaksud, yaitu :
PROCEDURE QUICKSORT(p,q)
IF p < q then j q + 1
CALL PARTITION(p,j)
CALL QUICKSORT(p,j-1)
CALL QUICKSORT(j+1,q)
END IF
END QUICKSORT
PROCEDURE PARTITION(m,p)
INTEGER m,p,i ; GLOBAL A(m-1,p)
V A(m) ; i m
LOOP
LOOP i i + 1 UNTIL A( i ) > = V REPEAT
LOOP p p - 1 UNTIL A( p ) < = V REPEAT
IF i < p THEN CALL INTERCHANGE (A(i),A(p))
ELSE EXIT
END IF
REPEAT
A(m) A(p)
A(p) V
END PARTITION
Contoh :
Suatu Array A terdiri dari 9 elemen, yaitu :
A(1) = 65 A(4) = 80 A(7) = 60
A(2) = 70 A(5) = 85 A(8) = 50
A(3) = 75 A(6) = 60 A(9) = 45
Elemen-elemen tersebut akan disusun secara tidak turun berdasarkan algoritma Quick Sort.
Jalannya proses pada algoritma tersebut disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i p
65 70 75 80 85 60 55 50 45 2 9
65 45 75 80 85 60 55 50 70 3 8
65 45 50 80 85 60 55 75 70 4 7
65 45 50 55 85 60 80 75 70 5 6
65 45 50 55 60 85 80 75 70 6 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i p
65 45 50 55 60 85 80 75 70 6 9
65 45 50 55 60 70 80 75 85 7 8
65 45 50 55 60 70 75 80 85 8 7
Dan seterusnya
EXIT
Analisisnya :
Hitung jumlah dari perbandingan-perbandingan elemennya dalam hal ini disimpan dalam variable C(n) dan kita asumsikan bahwa :
• n elemen yang disortir berbeda,
• proses pembagian (partisi) elemen V dalam prosedur PARTITION dilakukan dengan proses seleksi secara acak.
Worst Case dari C(n) dinotasikan dengan Cw(n). C(n) di dalam setiap pemanggilan prosedur PARTITION maksimum sebesar ( p – q + 1 ) kali.
Misalkan r adalah jumlah kumulatif dari elemen-elemen di dalam seluruh pemanggilan prosedur PARTITION pada setiap tingkat dari teknik rekursif tersebut. Pada tingkat pertama terjadi pemanggilan prosedur PARTITION sebanyak satu (1) kali yakni CALL PARTITION ( 1, n + 1 ) dan nilai r = n. Pada tingkat kedua terjadi pemanggilan prosedur PARTITION paling banyak dua (2) kali dan nilai r = n – 1, dan seterusnya dengan cara yang sama pada tingkat berikutnya. Dengan demikian dari proses tersebut diperoleh Cw(n) akan sama dengan jumlah seluruh tingkat (r) dan nilai r berkisar didalam interval [ 2 , n ].
Jadi kompleksitas waktunya (Worst Case) = Cw (n ) = O ( n² ) dan
Average Case = CA(n) = O ( n log n ).
Langganan:
Postingan (Atom)